Binomiály sú malé matematické výrazy pozostávajúce z variabilného výrazu (x, a, 3x, 4t, 1090y) sčítaného alebo odčítaného konštantným výrazom (1, 3, 110 atď.). Binomiály budú vždy obsahovať iba 2 výrazy, ale sú stavebnými kameňmi oveľa väčších a zložitejších rovníc známych ako polynómy, vďaka ktorým sú nesmierne dôležité dobre sa učiť. Táto lekcia sa bude zaoberať niekoľkými druhmi binomického násobenia, ale všetky sa dajú naučiť aj oddelene.
Kroky
Metóda 1 z 3: Násobenie dvoch binomík
Krok 1. Pochopte matematickú slovnú zásobu a typy otázok
Otázky pri nasledujúcom teste bude nemožné vyriešiť, ak neviete, na čo sa pýtajú. Našťastie terminológia nie je neuveriteľne ťažká:
-
Podmienky:
Termín je jednoducho súčasťou rovnice, ktorá sa sčíta alebo odčíta. Môže to byť konštanta, premenná alebo oboje. Napríklad v 12 + 13x + 4x2, podmienky sú 12, 13x, a 4x2.
-
Binomické:
Toto je len komplikovaný spôsob, ako povedať „výraz s dvoma výrazmi“ x+3 alebo X4 - 3x.
-
Právomoci:
toto sa vzťahuje na exponent výrazu. Mohli by sme napríklad povedať, že x2 je „x druhej mocnosti“.
- Akékoľvek otázky, ktoré vás budú zaujímať „Nájdite výrazy dvoch binomických čísel (x+3) (x+2)“, „nájdite súčin dvoch binomických čísel“alebo „rozbaľte tieto dva binomické výrazy“, vás vyzývajú, aby ste binomické čísla vynásobili.
Krok 2. Naučte sa skratku FOIL, aby ste si zapamätali poradie binomického násobenia
FOIL je jednoduchý návod na vynásobenie dvoch dvojčlenov. FOIL znamená poradie, ktoré potrebujete na vynásobenie častí dvojčlenov dohromady: F je pre Najprv, O je pre Vonkajšie, Som za Vnútorné, a L je pre Posledný.
Názvy odkazujú na poradie, v ktorom sú termíny napísané. Povedzme, že vynásobíme binomické čísla (x+2) a (x+5). Podmienky by boli:
-
Najprv:
x & x
-
Vonkajšie:
x & 5
-
Vnútorné:
2 & x
-
Posledný:
2 & 5
Krok 3. Vynásobte PRVÚ časť v každej zátvorke
Toto je „F“FOIL. V našom prípade (x+2) (x+5) sú prvé výrazy „x“a „x“. Vynásobte ich spolu a poznamenajte si odpoveď: „x2."
-
Prvý termín:
x * x = x2
Krok 4. Vynásobte VONKAJŠIE časti v každej zátvorke
Toto sú dva krajné „konce“nášho problému. V našom prípade (x+2) (x+5) by teda boli „x“a „5“. Spolu robia „5x“
-
Vonkajší termín:
x * 5 = 5x
Krok 5. Vynásobte VNÚTORNÉ časti v každej zátvorke
Dve čísla najbližšie k stredu budú vašim vnútorným pojmom. Pre (x+2) (x+5) to znamená, že vynásobením „2“a „x“získate „2x“.
-
Vnútorný termín:
2 * x = 2x
Krok 6. Vynásobte POSLEDNÉ diely v každej zátvorke
To neznamená posledné dve čísla, ale skôr posledné číslo v každej zátvorke. Takže pre (x+2) (x+5) vynásobíme „2“a „5“, aby sme dostali „10“.
-
Posledný termín:
2 * 5 = 10
Krok 7. Pridajte všetky nové výrazy dohromady
Skombinujte výrazy ich spojením a vytvorte nový, väčší výraz. Z nášho predchádzajúceho príkladu dostaneme rovnicu:
X2 + 5x + 2x + 10
Krok 8. Zjednodušte podobné výrazy
Podobné výrazy sú časťami rovnice, ktoré majú rovnakú premennú a moc. V našom prípade výrazy 2x a 5x zdieľajú x a je možné ich sčítať. Žiadne iné výrazy nie sú rovnaké, takže zostanú na mieste.
- Konečná odpoveď: (x+2) (x+5) = X2 + 7x + 10
- Rozšírená poznámka: Ak sa chcete dozvedieť, ako fungujú výrazy, zapamätajte si základy násobenia. 3 * 5 napríklad znamená, že sčítate tri päťky a získate 15 (5 + 5 + 5). V našej rovnici máme 5 * x (x + x + x + x + x + x) a 2 * x (x + x). Ak spočítame všetky „x“v rovnici, vyjde nám sedem „x“s, čiže 7x.
Krok 9. Nezabudnite, že odčítané čísla sú záporné
Keď sa číslo odpočíta, je to rovnaké ako pridanie záporného čísla. Ak pri svojich výpočtoch zabudnete dodržať znamienko mínus, skončíte s nesprávnou odpoveďou. Zoberme si príklad (x+3) (x-2):
-
Najprv:
x * x = x2
-
Vonkajšie:
x * -2 = - 2x
-
Vnútorné:
3 * x = 3x
-
Posledný:
3 * -2 = - 6
- Sčítajte všetky výrazy: x2 - 2x + 3x - 6
- Zjednodušte na konečnú odpoveď: X2 + x - 6
Metóda 2 z 3: Násobenie viac ako dvoma binomikami
Krok 1. Vynásobte prvé dva binomické výrazy, tretí dočasne ignorujte
Vezmite si príklad (x+4) (x+1) (x+3). Potrebujeme znásobiť binomické čísla jeden po druhom, takže všetky dve vynásobte buď FOIL alebo distribúciou výrazov. Vynásobenie prvých dvoch (x+4) a (x+1) pomocou FOIL bude vyzerať takto:
-
Najprv:
x*x = x2
-
Vonkajšie:
1*x = x
-
Vnútorné:
4*x = 4x
-
Posledný:
1*4 = 4
- Skombinujte výrazy: x2 + x + 4x + 4
- (x+4) (x+1) = X2 + 5x +4
Krok 2. Skombinujte zostávajúci binomický výraz s novou rovnicou
Teraz, keď je časť rovnice znásobená, môžete zvládnuť zostávajúci binomický výraz. V príklade (x+4) (x+1) (x+3) bol zvyšný výraz (x+3). Vráťte to spolu s novou rovnicou a získate takto: (x+3) (x2 + 5x + 4).
Krok 3. Vynásobte prvé číslo v binomickom čísle všetkými tromi číslami v ostatných zátvorkách
Toto je distribúcia výrazov. Takže pre rovnicu (x+3) (x2 + 5x + 4), musíte vynásobiť prvé x tromi časťami druhej zátvorky, x2, „„ 5x “a„ 4. “
- (x * x2) + (x * 5x) + (x * 4) = X3 + 5x2 + 4x
- Túto odpoveď si zapíšte a odložte si ju na neskôr.
Krok 4. Vynásobte druhé číslo v binomickom čísle všetkými tromi číslami v ostatných zátvorkách
Vezmite rovnicu, (x+3) (x2 + 5x + 4). Teraz vynásobte druhú časť binomického čísla všetkými tromi časťami v ostatných zátvorkách, „x2, „„ 5x “a„ 4. “
- (3 x2) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x2 + 15x + 12
- Napíšte túto odpoveď vedľa prvej odpovede.
Krok 5. Sčítajte dve odpovede z násobenia
Odpovede z predchádzajúcich dvoch krokov musíte skombinovať, pretože tvoria dve časti vašej konečnej odpovede.
X3 + 5x2 + 4x + 3x2 + 15x + 12
Krok 6. Zjednodušte rovnicu, aby ste získali konečnú odpoveď
Akékoľvek výrazy „páči sa mi“, výrazy, ktoré zdieľajú rovnakú premennú a silu (napríklad 5x2 a 3x2), môžu byť zlúčené, aby bola vaša odpoveď jednoduchšia.
- 5x2 a 3x2 stať sa 8x2
- 4x a 15x sa stane 19x
- (x+4) (x+1) (x+3) = X3 + 8x2 + 19x + 12
Krok 7. Na riešenie väčších problémov s násobením vždy používajte distribúciu
Pretože distribúciu výrazov môžete použiť na vynásobenie rovníc ľubovoľnej dĺžky, máte teraz nástroje potrebné na riešenie väčších problémov, ako napríklad (x+1) (x+2) (x+3). Vynásobte ľubovoľné dva binomické čísla buď pomocou distribúcie výrazov alebo FOIL, potom pomocou distribúcie výrazov vynásobte konečný binomický súbor k prvým dvom. V nasledujúcom príklade FOIL (x+1) (x+2), potom distribuujeme výrazy pomocou (x+3), aby sme získali konečnú odpoveď:
- (x+1) (x+2) (x+3) = (x+1) (x+2) * (x+3)
- (x+1) (x+2) = x2 + 3x + 2
- (x+1) (x+2) (x+3) = (x2 + 3: + 2) * (x + 3)
- (X2 + 3x + 2) * (x + 3) = x3 + 3x2 + 2x + 3x2 + 9x + 6
- Zjednodušte na konečnú odpoveď: X3 + 6x2 + 11x + 6
Metóda 3 z 3: Kvadratúra dvojčlenov
Krok 1. Vedieť nastaviť „všeobecné vzorce“
„Všeobecné vzorce vám umožňujú jednoducho zadávať čísla namiesto výpočtu FOIL zakaždým. Binomiály, ktoré sú posunuté na druhú mocninu, majú radi (x+2)2alebo tretia mocnina, ako (4 roky+12)3, sa ľahko zmestí do už existujúceho vzorca, takže riešenie je rýchle a jednoduché. Aby sme našli všeobecný vzorec, nahradíme všetky čísla premennými. Potom na konci môžeme čísla znova zapojiť, aby sme získali odpoveď. Začnite s rovnicou (a + b)2, kde:
- a znamená premenlivý termín (tj. 4 r - 1, 2x2 + 3 atď.) Ak neexistuje číslo, potom a = 1, pretože 1 * x = x.
- b znamená konštantu, ktorá sa sčítava alebo odčítava (tj. x + 10, t - 12).
Krok 2. Vedzte, že hranaté dvojčleny je možné prepísať
(a + b)2 môže to vyzerať komplikovanejšie ako náš predchádzajúci príklad, ale pamätajte na to, že druhou mocninou čísla je iba jeho vynásobenie. Rovnicu teda môžeme prepísať tak, aby vyzerala známejšie:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
Krok 3. Na vyriešenie novej rovnice použite FOIL
Ak na túto rovnicu použijeme fóliu, dostaneme všeobecný vzorec, ktorý vyzerá ako riešenie akéhokoľvek binomického násobenia. Pamätajte si, že pri násobení nezáleží na poradí, ktoré znásobíte.
- Prepíšte ako (a+b) (a+b).
-
Najprv:
a * a = a2
-
Vnútorné:
b * a = ba
-
Vonkajšie:
a * b = ab
-
Posledný:
b * b = b2.
- Pridajte nové výrazy: a2 + ba + ab + b2
- Skombinujte podobné výrazy: a2 + 2ab + b2
- Pokročilá poznámka: Exponenty a radikály sa považujú za operácie hyper-3, zatiaľ čo násobenie a delenie sú hyper-2. To znamená, že vlastnosti násobenia a delenia nefungujú pre exponenty. (a+b)2 nerovná sa a2 + b2. Toto je veľmi častá chyba medzi ľuďmi.
Krok 4. Použite všeobecnú rovnicu a2 + 2ab + b2 aby ste vyriešili svoje problémy.
Zoberme si rovnicu (x+2)2. Namiesto toho, aby sme FOIL robili odznova, môžeme zapojiť prvý výraz pre „a“a druhý výraz pre „b“,
- Všeobecná rovnica: a2 + 2ab + b2
- a = x, b = 2
- X2 + (2 * x * 2) + 22
- Konečná odpoveď: x2 + 4x + 4.
- Svoju prácu môžete kedykoľvek skontrolovať vykonaním FOIL v pôvodnej rovnici (x+2) (x+2). Ak to urobíte správne, zakaždým dostanete rovnakú odpoveď.
- Ak je výraz odpočítaný, musíte ho vo všeobecnej rovnici ponechať záporný.
Krok 5. Nezabudnite vložiť celý výraz do všeobecnej rovnice
Vzhľadom na dvojčlen (2x+3)2„Musíte si uvedomiť, že a = 2x, nielen a = 2. Keď máte zložité výrazy, musíte si uvedomiť, že 2 aj x sú hranaté.
- Všeobecná rovnica: a2 + 2ab + b2
- Náhrada za a a b: (2x)2 + 2 (2x) (3) + 32
- Námestie každý výraz: (22)(X2) + 14x + 32
- Zjednodušte na konečnú odpoveď: 4x2 + 14x + 9